Fandom

Wikianswers Arabic

إطرح سؤالا...

طريقة نيوتن لحل نظام جبرى يتكون من متغيرين؟

٧٬٦٤٠pages on
this wiki
Add New Page
Talk2 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

لا أعلم إن كنت تقصد بسؤالك هذا الاستفسار عن طريقة تقريب حل المعادلة لنيوتن؟ إن كان الأمر كذلك فإن هذه الطريقة تدعى طريقة نيوتن كما يمكن أن تعرف باسم طريفة نيوتن رافسون.

في هذه الطريقة يفترض أن المسألة المراد حلها تكون على الصورة:

 f(x)=0\,

حيث أن x هو المتغير الذي يحقق حل المعادلة f(x)=0 وبشرط اتصال الدالة عند هذا الجذر على الأقل.

على ذلك يمكن البحث عن جذر قريب من x وليكن x0 وتعويضه في قاعدة نيوتن التالية لإيجاد قيمة أكثر دقة ولتكن x1:

x_{1} \approx x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}

حيث:

  • f(x_0) هي القيمة الأولية للدالة عند التعويض عند الجذر الأولي x_0
  • f'(x_0) هي قيمة مشتقة الدالة عند الجذر الأولي x_0

بعد حصولك على القيمة الأكثر دقة،  x_1 يمكنك إعادة استعمالها مرة أخرى على أنها  x_0 والتعويض في المعادلة السابقة للحصول على دقة أعلى مرة أخرى وتدعى الصيغة في هذه الحالة بالصيغة التكرارية.

بالمناسبة يمكنك اشتقاق العلاقة التقريبية السابقة إما برسم منحنى الدالة وتحليل المماسات التكرارية (في صورة مثلثات) أو مباشرة من منشور ماكلورين العام بوضع الحدود التالية للحد الأول أصفاراً.

مثالEdit

لو أننا بصدد حل المعادلة  x=cos(x) مثلاً حيث أن x مقدرة بالراديان فإننا نضع الدالة على الصورة f(x)=0 أي أن:

 x-cos(x)=0

ثم نبحث عن جذر قريب من القيمة. منطقياً نعلم أن الجذر ينبغي أن يكون في الفترة [-1,1] وبالتالي يمكننا اختيار أي قيمة في هذا المجال ولتكن  x_0=1 لاحظ أن الدالة  f(x)= x-cos(x) ومشتقتها هي  f'(x)= 1+sin(x) بالتعويض في العلاقة السابقة نحصل على:

x_{1}  \approx x_0 - \frac{x_0 - cos(x_0)}{1 + sin(x_0)} = 1 - \frac{1 - cos(1)}{1 + sin(1)} \approx 0.7503638678402439

حصلنا الآن على دقة أفضل من الجذر 1 كما يمكننا تحسينها بإعادة تعويض  x_0 = 0.7503638678402439 وتكرار العملية السابقة لنحصل على:

x_{1}  \approx 0.7503638678402439 - \frac{0.7503638678402439 - cos(0.7503638678402439)}{1 + sin(0.7503638678402439)} \approx 0.7391128909113617

ومرة أخرى:

x_{1}  \approx 0.739085133385284 - \frac{0.739085133385284 - cos(0.739085133385284)}{1 + sin(0.739085133385284)} \approx 0.7390851332151607


وهذه دقة كافية يمكننا التوقف عندها (دقة ست عشرة مرتبة عشرية هنا).


حيث يمكن القول أن جذر الدالة هو  x =0.7390851332151607

Also on Fandom

Random Wiki