FANDOM

إطرح سؤالا...

لا أعلم إن كنت تقصد بسؤالك هذا الاستفسار عن طريقة تقريب حل المعادلة لنيوتن؟ إن كان الأمر كذلك فإن هذه الطريقة تدعى طريقة نيوتن كما يمكن أن تعرف باسم طريفة نيوتن رافسون.

في هذه الطريقة يفترض أن المسألة المراد حلها تكون على الصورة:

$ f(x)=0\, $

حيث أن x هو المتغير الذي يحقق حل المعادلة f(x)=0 وبشرط اتصال الدالة عند هذا الجذر على الأقل.

على ذلك يمكن البحث عن جذر قريب من x وليكن x0 وتعويضه في قاعدة نيوتن التالية لإيجاد قيمة أكثر دقة ولتكن x1:

$ x_{1} \approx x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} $

حيث:

  • $ f(x_0) $ هي القيمة الأولية للدالة عند التعويض عند الجذر الأولي $ x_0 $
  • $ f'(x_0) $ هي قيمة مشتقة الدالة عند الجذر الأولي $ x_0 $

بعد حصولك على القيمة الأكثر دقة، $ x_1 $ يمكنك إعادة استعمالها مرة أخرى على أنها $ x_0 $ والتعويض في المعادلة السابقة للحصول على دقة أعلى مرة أخرى وتدعى الصيغة في هذه الحالة بالصيغة التكرارية.

بالمناسبة يمكنك اشتقاق العلاقة التقريبية السابقة إما برسم منحنى الدالة وتحليل المماسات التكرارية (في صورة مثلثات) أو مباشرة من منشور ماكلورين العام بوضع الحدود التالية للحد الأول أصفاراً.

مثالEdit

لو أننا بصدد حل المعادلة $ x=cos(x) $ مثلاً حيث أن x مقدرة بالراديان فإننا نضع الدالة على الصورة $ f(x)=0 $ أي أن:

$ x-cos(x)=0 $

ثم نبحث عن جذر قريب من القيمة. منطقياً نعلم أن الجذر ينبغي أن يكون في الفترة [-1,1] وبالتالي يمكننا اختيار أي قيمة في هذا المجال ولتكن $ x_0=1 $ لاحظ أن الدالة $ f(x)= x-cos(x) $ ومشتقتها هي $ f'(x)= 1+sin(x) $ بالتعويض في العلاقة السابقة نحصل على:

$ x_{1} \approx x_0 - \frac{x_0 - cos(x_0)}{1 + sin(x_0)} = 1 - \frac{1 - cos(1)}{1 + sin(1)} \approx 0.7503638678402439 $

حصلنا الآن على دقة أفضل من الجذر 1 كما يمكننا تحسينها بإعادة تعويض $ x_0 = 0.7503638678402439 $ وتكرار العملية السابقة لنحصل على:

$ x_{1} \approx 0.7503638678402439 - \frac{0.7503638678402439 - cos(0.7503638678402439)}{1 + sin(0.7503638678402439)} \approx 0.7391128909113617 $

ومرة أخرى:

$ x_{1} \approx 0.739085133385284 - \frac{0.739085133385284 - cos(0.739085133385284)}{1 + sin(0.739085133385284)} \approx 0.7390851332151607 $


وهذه دقة كافية يمكننا التوقف عندها (دقة ست عشرة مرتبة عشرية هنا).


حيث يمكن القول أن جذر الدالة هو $ x =0.7390851332151607 $